Замощения пространства и сжатие информации. Лекция

Фигуры, называемые тайлами, давно привлекают внимание специалистов в разных областях: комбинаторике, теории чисел, функциональном анализе, алгебре, и т.д. От тайла требуются два свойства: 1) самоподобие: тайл можно без наложений замостить параллельными сдвигами одной фигуры, подобной ему самому; 2) целые сдвиги тайла покрывают без наложений всё пространство. Тайл (tile — «плитка» или «черепица») может иметь самые причудливые формы и фрактальные свойства. Самый известный плоский тайл (помимо квадрата) — это Дракон (или «кривая дракона»), но есть и много других.
Относительно недавно тайлы нашли инженерные применения. Например, для обработки и передачи информации. Представим, что нужно сохранить на компьютере функцию одной или нескольких переменных. Например, звук или изображение. Хранить по точкам — дорого и неэффективно. Гораздо лучше разложить функцию в сумму нескольких базисных функций и хранить только коэффициенты разложения. В течение двух столетий мир довольствовался для этих целей системой Фурье, состоящей из синусов и косинусов. Но с развитием технологий проявились её неустранимые недостатки. Выход был найден в построении других базисных систем функций — всплесков, фреймов, и т.д. Математически это оказалось очень непростым делом. Некоторые из новых систем, например, многомерные системы Хаара, строятся с помощью тайлов. Оказывается, что эти замысловатые фигуры с рваными краями и дробной размерностью можно использовать для приближения гладких функций и, как следствие, для сжатия информации. Как это получается, и почему именно их надо использовать — мы разберемся. А кроме того, докажем ряд фундаментальных свойств тайлов и применим их к теории обработки сигналов и теории приближений. Мы рассмотрим трудную задачу классификации тайлов, построим примеры и сформулируем ряд открытых проблем.