Изучение структуры пространств модулярных форм методом рассечения

Доклад основан на работах автора [1], [2].

Хорошо известна классическая теорема о том, что пространство параболических форм уровня $1$ допускает точное рассечение функцией $\Delta(z) = \eta^{24}(z)$: любая параболическая форма уровня $1$ четного веса $k \geqslant 12$ является произведением $\eta^{24}(z)$ на модулярную форму уровня 1 веса $k - 12$.

Функция $\eta^{24}(z)$ является одной из $28$ параболических форм целого веса, которые являются эта-произведениями с мультипликативными коэффициентами. Они были впервые описаны в работе [3] и называются мультипликативными эта-произведениями (или функциями МакКея).

В докладе обсуждаются структурные теоремы для пространств параболических форм с тривиальными или квадратичными характерами высших уровней. Будет показано, что точное рассечение в таких пространствах уровней $N\ne 3, 17, 19$ имеет место в том и только том случае, когда рассекающая функция является мультипликативным эта-произведением. При $N = 3, 17, 19$ точное рассечение имеет место, но рассекающая функция может быть мультипликативным эта-произведением (это возможно лишь при $N = 3$) или не быть таковым.

Также будут рассмотрены некоторые структурные теоремы в ситуациях, когда точное рассечение уже не имеет места. В наших исследованиях для вычисления порядков эта-частных в параболических вершинах используется формула Биаджиоли [4]. Размерности пространств вычисляются по формуле Коэна–Остерле [5].

[1] Г.В. Воскресенская, Разложение пространств модулярных форм, Мат. заметки, 99 (2016), № 6, с. 867–877.

[2] Г.В. Воскресенская, Точное рассечение в пространствах параболических форм с характерами, Мат. заметки, 103 (2018), № 6, с. 818–830.

[3] D. Dummit, H. Кisilevsky, J. МасKay, Multiplicative products of $\eta-$ functions, Contemp. Math., 45 (1985), p. 89–98.

[4] A.J.F. Biagioli, The construction of modular forms as products of transforms of the Dedekind eta-function, Acta Arithm., 54 (1990), № 4, p. 273–300.

[5] H. Cohen, J. Oesterle, Dimensions des espaces de formes modulaires, In: J.P. Serre, D.B. Zagier (eds.), Modular Functions of One Variable VI. Lecture Notes in Mathematics, vol 627. Springer, Berlin, Heidelberg, 1977. P. 69–78.