Положительность сумм характеров и случайные мультипликативные функции

Квадратичные характеры Дирихле занимают особое место в аналитической теории чисел, так как распределение нулей их $L$-функций оказывается связано с общими вопросами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Пусть $p$ — простое число, а $\chi_p(\cdot)$ — соответствующий квадратичный характер $\mod p$, т.е. символ Лежандра. Мы обсудим свойства множества $\mathcal{L}^{+}$ таких простых чисел $p$, что для всех натуральных $N$ выполнено
$$ \chi_p(1)+\ldots+\chi_p(N)\geqslant 0 $$
и представим доказательство оценки
$$ |\mathcal L^+\cap [1,x]|\ll \pi(x)(\ln\ln x)^{-c+o(1)}, $$
где
$$ c=2+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{23+16\sqrt{2}}}{2}\approx 0.0368, $$
опирающееся на результаты А. Харпера о случайных мультипликативных функциях.