Эллиптические и модулярные функции. Лекция 1

По определению, эллиптическая функция — это двоякопериодическая функция на комплексной плоскости. Название связано с тем, что такие функции впервые возникли у Якоби при исследовании интеграла, задающего длину дуги эллипса.
Одна из самых замечательных эллиптических функций, и одновременно самая простая из них — функция Вейерштрасса. Построив её, мы посмотрим на всё богатство связанных с нею сюжетов — алгебраическую реализацию эллиптической кривой, сложение точек на ней, пример Латтэ рационального отображения с «абсолютно хаотическим» поведением.
При изучении функции Вейерштрасса у нас естественным образом возникнут ряды Эйзенштейна — первые примеры модулярных функций. Эти функции тоже любят возникать во многих областях математики. Мы коснёмся двух связанных их проявлений — нахождения числа представлений натуральных чисел в виде суммы четырёх квадратов и теории решёток в многомерных пространствах.
Курс рассчитан как на студентов, так и на школьников, хорошо знакомых с комплексными числами. Я собираюсь сообщить все необходимые факты из комплексного анализа (и предложить в них поверить), но понимание самих комплексных чисел всё-таки для восприятия курса необходимо.