Аннотация:
Пусть алгебра фон Неймана ${\mathcal M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$,
$\tau$ – точный нормальный полуконечный след на
$\mathcal{M}$, $S(\mathcal{M}, \tau )$ – ${}^*$-алгебра $\tau$-измеримых операторов и
$ L_1(\mathcal{M},\tau)$ – банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов.
Если $P, Q \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ и
$P-Q\in L_1(\mathcal{M},\tau)$, то $\tau (P-Q)\in \mathbb{R}$.
В частности, если $A=A^3\in L_1(\mathcal{M}, \tau )$,
то $\tau (A)\in \mathbb{R}$.
Пусть $A, B \in S(\mathcal{M}, \tau )$ являются трипотентами.
Если $A-B\in L_1(\mathcal{M}, \tau )$ и $A+B\in \mathcal{M}$,
то $\tau (A-B)\in \mathbb{R}$.
Пусть $P, Q \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ с
$P-Q\in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и $P Q \in \mathcal{M}$.
Тогда для всех $n\in \mathbb{N}$ имеем $(P-Q)^{2n+1}\in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и
$\tau ((P-Q)^{2n+1})=\tau (P-Q)\in \mathbb{R}$.
|
