Аннотация:
Пусть $A$ — ассоциативная алгебра над полем $F$, $E$ — подпространство алгебры $A$, порождающее $A$ как алгебру. Алгебра $A$ в этом случае называется обертывающей алгеброй пространства $E$, а пространство $E$ называется мультипликативным векторным пространством или $L$-пространством. Свободную ассоциативную алгебру от множества свободных образующих $X$ будем обозначать через $F\langle X\rangle$.
Под тождеством пары $(A,E)$ понимается такой многочлен из $F\langle X\rangle$, который равен нулю в алгебре $A$ при подстановке вместо переменных элементов пространства $E$. В этом случае также будем говорить о тождестве векторного пространства $E$.
Через $T(G)$ обозначим $T$-идеал, порожденный множеством $G\in F\langle X\rangle$, а через $L(G)$ обозначим идеал алгебры $F\langle X\rangle$, замкнутый относительно линейных замен переменных и назовем его $L$-идеалом, порожденным множеством $G$.
Скажем, что тождество $g$ пространства $E$ следует из тождеств $f_1, f_2, \dots $ этого пространства, если $g\in L(f_1, f_2, \dots)$. Множество тождеств $L$-пространства $E$, из которых следуют все тождества этого пространства, назовем базисом тождеств $E$. В случае, если базис $L$-пространства $E$ конечен, скажем, что $E$ имеет конечный базис тождеств или конечно базируемо.
Ранее автором исследован вопрос о наличии условий конечной базируемости тождеств произвольного $L$-пространства. Доказано, что всякое мультипликативное векторное пространство $E$ над бесконечным полем, удовлетворяющее либо тождеству $[x,y]z=0$, либо тождеству $x[y,z]=0$, имеет конечный базис тождеств. При этом, если $G$ — базис тождеств $E$, то $T(G)=L(G)$.
В настоящей работе доказано, что всякое мультипликативное векторное пространство $E$ над полем нулевой характеристики, удовлетворяющее либо тождеству $[x,y]zt=0$, либо тождеству $xy[z,t]=0$, имеет конечный базис тождеств. При этом существует $L$-пространство c базисом тождеств $G$, содержащим один из многочленов $[x,y]zt$, либо $xy[z,t]$, для которого $T(G)\ne L(G)$.
|
