Графы ортогональности матриц над коммутативными кольцами

Доклад посвящён исследованию графов ортогональности некоммутативных ассоциативных колец на примере кольца матриц. Так, в случае, если основное кольцо является телом, ранее были получены следующие свойства графа ортогональности кольца $(n\times n)$-матриц: при $n=2$ он несвязен, и все его связные компоненты имеют диаметры не более $2$, а при $n\ge3$ он связен и имеет диаметр $4$. Эти утверждения доказаны в 2014 г. для поля [1], а в 2017 г. — для произвольного тела [2]; их также легко обобщить на целостные кольца (путём перехода к полю частных).
Основу выступления составляет граф ортогональности кольца $(n\times n)$-матриц над коммутативным нецелостным кольцом. Автором доказано, что при $n>1$ данный граф связен, его диаметр равен $3$ либо $4$, а радиус — $2$, $3$ либо $4$; получен критерий каждого из значений диаметра.

\item[{[1]}] Бахадлы Б. Р., Гутерман А. Э., Маркова О. В. Графы, определённые ортогональностью // Зап. научн. семин. ПОМИ 2014. Т. 428. Сс. 49–80.
\item[{[2]}] Гутерман А. Э., Маркова О. В. Графы ортогональности матриц над телами // Зап. научн. семин. ПОМИ 2017. Т. 463. Сс. 81–93.