Аннотация:
Рассматривается динамическая система, описывающая движение материальной точки по двумерному риманову многообразию $M$, на котором определено действие группы $S^1$ изометриями (будут изучаться конкретные случаи $M \approx S^2$ и $M \approx \mathbb{R}P^2$). Такая система называется называется геодезическим потоком на римановом многообразии, она является гамильтоновой.
Добавив к стандартной симплектической структуре $d(pdq)$ замкнутую 2-форму на конфигурационном многообразии (локально это равносильно добавлению к гамильтониану линейных по обобщенным импульсам слагаемых), получим новую постановку, которую будем называть магнитным геодезическим потоком (линейные по импульсам слагаемые естественным образом появляются при исследовании движений заряженной материальной точки в магнитном поле). Построенная таким образом система остается гамильтоновой и, более того, становится вполне интегрируемой по Лиувиллю (если потребовать $S^1$-инвариантность наложенного магнитного поля).
Возникает вопрос об исследовании топологических свойств слоения Лиувилля (т.е. лагранжева слоения с особенностями) этой задачи.
В рамках доклада будут изложены основные результаты проведенной работы:
- построены бифуркационные диаграммы;
- описаны особенности рангов 0 и 1 (как невырожденные, так и вырожденные; в частности, были обнаружены бифуркации типа «pitch-fork», не связанные с какими-либо симметриями в системе);
- найдены инварианты грубой и тонкой лиувиллевой эквивалентности;
- в задачах динамики твердого тела выявлено несколько интегрируемых систем, лиувиллево эквивалентных данной системе на ее неособых изоэнергетических многообразиях.
|
