Аннотация:
Решая проблему Р. Давермана, В. Крушкаль описал “липкие” канторовы множества в $R^N$ для $N>3$; такие множества не могут быть сняты сами с себя малыми изотопиями пространства $R^N$. Используя множества Крушкаля, мы отвечаем на вопрос
Дж. Кэннона и С. Уэймента (1970). А именно, для $N>3$ строим в $R^N$ компакты $X$ со свойствами: некоторая последовательность $\{X_i\}$ подмножеств $R^N$ в определенном — довольно сильном — смысле сходится к $X$, никакое $X_i$ не пересекается с $X$, однако в $R^N$ не существует несчетного семейства попарно дизъюнктных подмножеств, каждое из которых вложено эквивалентно $X$. Такие примеры были описаны Кэнноном и Уэйментом для $N=3$ и $N>4$. Наше построение работает для
любого $N>3$, тем самым дает ответ для открытого до сих пор случая $N=4$.
В отличие от работы Кэннона и Уэймента, доказательство не требует опоры на сложные результаты Р. Бинга (1957–1961), Дж. Брайента (1968), А. В. Чернавского (1973) и Р. Давермана (1973).
|
