Аннотация:
Пусть $\{e_p\}_{p\in\mathcal P}$ и $\{h_p\}_{p\in\mathcal P}$ — два
множества точек, лежащих соответственно в ${\mathbb H=\{\mathop{\mathrm{Im}}
z>0\}}$ и $\overline{\mathbb H}$, и пусть точки множества
$\{e_p\}_{p\in\mathcal P}$ попарно различны. Известная теорема
Крейна–Рехтман утверждает, что для существования функции Неванлинны $f(z)$
(т.е. функции, голоморфной в $\mathbb H$ и принимающей значения в
$\overline{\mathbb H}$), удовлетворяющей условиям $f(e_p)=h_p$, $p\in\mathcal
P$, необходимо и достаточно, чтобы все формы
$$
\sum_{j,k=0}^n\frac{h_{p_j}-\overline{h}_{p _k}}{e_{p_j}-\overline{e}_{p _k}}\xi_j\overline{\xi}_k
$$
были ненегативны. Если какая-либо из этих форм сингулярна, то функция $f(z)$
единственна и является действительной рациональной дробью.
Пусть $e_1,e_2,\dots$ — последовательность точек, лежащих в $\mathbb H$, и
пусть $F(z)$ — функция, определенная с учетом кратностей в точках
$e_1,e_2,\dots$, т.е. если $\nu_n$ — кратность точки $e_n$ в множестве
$E_n=\{e_1,\dots,e_n\}$, то с учетом ранее определенных значений производных
порядка меньше $(\nu _n-1)$ в точке $e_n$ определено значение
$F^{(\nu_n-1)}(e_n)$ производной функции $F(z)$ порядка $(\nu _n-1)$. В
докладе будут указаны необходимые и достаточные условия, обеспечивающие
существование функции Неванлинны $f(z)$ такой, что
$f^{(\nu_n-1)}(e_n)=F^{(\nu _n-1)}(e_n)$ при всех значениях ${n=1,2,\dots}$.
|
