Предельная теорема для момента максимума случайного блуждания, достигающего фиксированного уровня

Рассмотрим случайное блуждание $S_n=X_1+\dots+X_n$, $n\in\mathbb{N}$, $S_0=0$, где $X_1,X_2,\dots$ — независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (сл.в.). Для этого блуждания хорошо известен закон арксинуса:
\begin{equation*} P\left(\frac{\tau_M}{n}\le x\right) \to \frac{2}{\pi} \arcsin\sqrt{x},\quad n\to\infty,\quad x\in [0,1], \end{equation*}
где $\tau_M$ — момент первого достижения максимума блужданием $S_n$. Нас интересуют такие же результаты, но для
\begin{equation*} P\left(\left.\frac{\tau_M}{n}\le x\right|M_n=k\right),\quad x\in [0,1], \end{equation*}
где $M_n = S_{\tau_M}$. В докладе будет получена асимптотика данной вероятности для арифметического случайного блуждания в случае нормальных уклонений для случаев конечной и бесконечной дисперсии, а также умеренных и больших уклонений при конечной дисперсии и выполнении правостороннего условия Крамера.
Планируется рассмотреть случай $k\sim n^\alpha$, $n\to\infty$, при $0<\alpha<1/2$ для арифметического случайного блуждания.