Аннотация:
В области $\Omega \subset\mathbb{R}^n$, $n\geq 3$, рассматриваются сопряжённые задачи Дирихле
\begin{gather}\label{Eq1}
-\mathop{\mathrm{div}} \left(\mathbf{A}(x)\nabla u \right) + \mathbf{b}(x)\cdot \nabla u = f, \quad f\in W^{-1,2}(\Omega),\quad u\in W_0^{1,2}(\Omega),\\label{Eq2}
-\mathop{\mathrm{div}} \left(\mathbf{A}(x)\nabla u + \mathbf{b}(x)u \right) = f, \quad f\in W^{-1,2}(\Omega),\quad u\in W_0^{1,2}(\Omega),
\end{gather}
где матрица $\mathbf{A}\in (L^\infty(\Omega))^{n\times n}$ симметрическая и удовлетворяет условию равномерной эллиптичности $\nu |\xi|^2\leq \mathbf{A}(x) \xi \cdot \xi \leq M |\xi|^2$, $M,\nu>0$, для почти всех $x\in \Omega$ и всех $\xi \in \mathbb{R}^n$.
Пространство $W_0^{1,2}(\Omega)$ есть замыкание $C_0^\infty(\Omega)$ по норме $\|u\|_{W_0^{1,2}(\Omega)} = \|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}$, а $W^{-1,2}(\Omega)$ — сопряжённое к нему пространство. Предположим, что $|\mathbf{b}|^2\in L^1_{loc}(\Omega)$ и выполняется неравенство типа Харди: $\| \,|\mathbf{b}| \varphi\|_{L^2(\Omega)} \leq C_H \|\varphi\|_{W_0^{1,2}(\Omega)}$ для всех $ \varphi \in W_0^{1,2}(\Omega)$.
Определим на $W_0^{1,2}(\Omega)$ билинейную форму $a(u,v) =\int\limits_\Omega (\mathbf{A} \nabla u\cdot \nabla v+ \mathbf{b}v\cdot \nabla u)\, dx$, тогда $|a(u,v)| \leq (M+C_H) \|u\|_{W_0^{1,2}(\Omega)} \|v\|_{W_0^{1,2}(\Omega)}$. Функцию $u\in W_0^{1,2}(\Omega)$ будем называть решением задачи \eqref{Eq1} (соотв. задачи \eqref{Eq2}), если $a (u,v) = \langle f,v\rangle$ (соотв. $a (v,u) = \langle f,v\rangle$) для всех $v\in W_0^{1,2}(\Omega)$. В случае малости величины $C_H$ форма $a(\cdot,\cdot)$ коэрцитивная, $a(u,u) \geq (\nu - C_H)\|u\|^2_{W_0^{1,2}(\Omega)}$, откуда по лемме Лакса-Мильграма следует однозначная разрешимость задач \eqref{Eq1}, \eqref{Eq2} вместе с оценкой $\|u\|_{W_0^{1,2}(\Omega)} \leq (\nu - C_H)^{-1} \|f\|_{W^{-1,2}(\Omega)}$.
Без условия малости, для решения задачи \eqref{Eq1} в случае $\mathbf{b}\in (L^n(\Omega))^n$ оценка вида $\|u\|_{W_0^{1,2}(\Omega)}\leq K \|f\|_{W^{-1,2}(\Omega)}$ с константой $K$, зависящей лишь от $n$, $\nu$, $\|\mathbf{b}\|_{(L^n(\Omega))^n}$, была установлена в работе M. Chicco, “An apriori inequality concerning elliptic second order partial differential equations of variational type,” Matematiche (Catania) 26, 173–182 (1971), см. также G. Bottaro, M.E. Marina, “Problema di Dirichlet per equazioni ellittiche di tipo variazionale su insiemi non limitati,” Boll. Unione Mat. Ital. (4) 8, 46-56 (1973).
В докладе будут обсуждаться различные варианты оценок типа Чикко (-Боттаро-Марина) для задач \eqref{Eq1}, \eqref{Eq2} для $\mathbf{b}$ из классов Лебега, Лоренца и Като.
|
