Аннотация:
Рассматриваются системы с торическим конфигурационным пространством и кинетической энергией в виде «плоской» римановой метрики на торе. Потенциальная энергия $V$ – гладкая функция на конфигурационном торе. Динамика таких систем описывается «натуральными» гамильтоновыми системами дифференциальных уравнений. Если заменить $V$ на $\epsilon V$, где $\epsilon$ – малый параметр, то исследование таких гамильтоновых систем при малых значениях $\epsilon$ относится к «основной проблеме динамики» по Пуанкаре. Обсуждается известная гипотеза об однозначных полиномиальных по импульсам интегралах уравнений движения: если имеется полиномиальный по импульсам интеграл степени $m$, то обязательно найдется линейный или квадратичный по импульсам первый интеграл. Она полностью доказана для $m= 3$ и $m= 4$. Обсуждаются случаи «высших» степеней, когда $ m= 5$ и $m= 6$. Следуя теории возмущений гамильтоновых систем, вводятся резонансные прямые на плоскости импульсов. Если система допускает полиномиальный интеграл, то число этих прямых конечно. Найдены симметрии множества резонансных прямых, что даёт, в частности, необходимые условия интегрируемости. Получены некоторые новые критерии существования однозначных полиномиальных интегралов.
