Инвариант Макар-Лиманова и автоморфизмы аффинных алгебраических многообразий, лекция 1

Пусть $X$ — аффинное алгебраическое многообразие над полем $k$. Алгебраические подгруппы в группе регулярных автоморфизмов $X$, изоморфные аддитивной группе поля $k$ соответствуют локально нильпотентным дифференцированиям алгебры регулярных функций $k[X]$. Напомним, что локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД) данной алгебры $A$ называется такой линейный оператор $\delta\colon A\rightarrow A$, удовлетворяющий тождеству Лейбница $\delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b$, что для любого $a\in A$ найдётся натуральное $n$ с условием $\delta^n(a)=0$.
В 1996 году Леонид Макар-Лиманов предложил рассмотреть пересечение ядер всех ЛНД данной алгебры. Впоследствии это подкольцо получило название инвариант Макар-Лиманова и стало обозначаться $\mathrm{ML}(A)$. Слово «инвариант» отражает тот факт, что данное подкольцо инвариантно относительно регулярных автоморфизмов алгебры.
В курсе лекций будет рассказано некоторое количество техник полезных для вычисления инварианта Макар-Лиманова алгебр (многообразий). Также мы рассмотрим два применения инварианта. Первое — применение для доказательства неизоморфности многообразий. Если две алгебры имеют неизоморфные инварианты Макар-Лиманова, то они не изоморфны. Именно этому применению инвариант обязан своей известностью. Классический пример — это доказательство неизоморфности кубики Кораса-Расселла, которая задаётся в четырёхмерном пространстве уравнением ${x+x^2y+z^2+t^3=0}$, и трёхмерного аффинного пространства. Второе — применение для описания группы автоморфизмов данного многообразия. Оказывается, что знание того, что некоторое подкольцо инвариантно, бывает полезно для изучения всей группы автоморфизмов. Также в лекциях мы рассмотрим аналоги инварианта Макар-Лиманова: инвариант Дерксона и некоторые модификации этих двух инвариантов.