|
ВИДЕОТЕКА |
Традиционная сессия МИАН-ПОМИ «Дифференциальные уравнения и динамические системы»
|
|||
|
Глобальная асимптотика совместно ортогональных полиномов Эрмита А. В. Цветкова Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва |
|||
Аннотация: Совместно ортогональные полиномы Эрмита \begin{equation} \begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty} H_{(n_1,n_2)}(x)x^{\nu}e^{-x^2-2\alpha x}dx=0, \quad \nu = 0,1, ..., n_1-1\\ \int_{-\infty}^{+\infty} H_{(n_1,n_2)}(x)x^{\nu}e^{-x^2+2\alpha x}dx=0, \quad \nu = 0,1, ..., n_2-1 \end{cases} \quad \alpha\neq 0, \end{equation} и удовлетворяют некоторым рекуррентным соотношениям. Однако можно убедиться, что \begin{equation} \frac{d^3 H}{ d x^3}-4x \frac{d^2 H}{d x^2}+(4x^2-4\alpha^2 +2(n_1+n_2-1))\frac{d H}{d x}- 4(x(n_1+n_2)-\alpha(n_1-n_2))H=0. \end{equation} В докладе обсуждается подход, позволяющий получить глобальную асимптотику полиномов при больших индексах, опираясь на приведенное уравнение. Особенность задачи заключается в том, что символ соответствующего дифференциального оператора комплексный и связан с кривой, определяемой многочленом третьей степени. Используя операторные методы и идею канонического оператора Маслова [2], мы расщепляем уравнение на два уравнения более низких порядков, избавляемся от комплексности и получаем глобальную асимптотику для решения в виде линейной комбинации функции Эйри Доклад основан на совместной работе с С.Ю. Доброхотовым [3]. Список литературы
|