Гипотеза Пойа для задачи Дирихле в многомерном шаре

В 1954 г. Д. Пойа предположил, что
$$ N_{\cal D} (\Omega,\Lambda) \le C_W \Lambda^{d/2} \quad \text{при всех} \quad \Lambda \ge 0. $$
Здесь $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ — ограниченная область в евклидовом пространстве, $\Lambda$ — спектральный параметр, $N_{\cal D} (\Omega,\Lambda)$ — считающая функция собственных значений оператора Лапласа задачи Дирихле в $\Omega$, и $C_W$ — константа в вейлевской асимптотике. Мы доказываем эту гипотезу для шара в произвольной размерности.
Доклад основан на совместной работе с М. Левитиным, И. Полтеровичем и Д. Шером.