Аннотация:
Одна из первых двойственностей в пространствах голоморфных функций была открыта
в 1950-х независимо А. Гротендиком, Г. Кёте и Ж. Себастиан и Сильва
(см., например, [2]), давших описание сильного сопряженного пространства $({\mathcal O} (D))^*$ для пространства голоморфных функций ${\mathcal O} (D)$ (снабженное стандартной топологией Фреше) в ограниченной односвязной области $D\subset {\mathbb C}$: $({\mathcal O} (D))^* \cong {\mathcal O} (\widehat {\mathbb C} \setminus D)$,
где ${\mathcal O} (\widehat {\mathbb C} \setminus D)$ есть пространство голоморфных функций
в окрестностях замкнутого множества ${\mathbb C} \setminus D$ и равных нулю в бесконечности,
снабженное стандартной топологией индуктивного предела. К сожалению, теорема Гартогса о
стирании компактных особенностей и классическая теорема Лиувилля запрещают непосредственный
аналог этой двойственности для голоморфных функций нескольких переменных. Тем не менее,
обобщения этой двойственности известны в рамках теории когомологий Дольбо, см.,
например, работу Ж. Серра [3].
Мы описываем сильное сопряженное пространство $({\mathcal O} (D))^*$ для пространства
${\mathcal O} (D)$ голоморфных функций нескольких комплексных переменных в ограниченной
липшицевой области $D$ со связным дополнением (как и выше, ${\mathcal O} (D)$ снабжено
топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из $D$). Мы идентифицируем
двойственное пространство с замкнутым подпространством пространства гармонических функций
на замкнутом множестве ${\mathbb C}^n\setminus D$, $n>1$, с элементами, исчезающими в бесконечно удаленной точке и удовлетворяющими касательным условиям Коши-Римана на $\partial D$. В частности, мы обобщаем классическую двойственность Гротендика-Кёте-Себастиана и Сильвы для голоморфных функций одной комплексной переменной на многомерную ситуацию. Мы доказываем, что построенная нами двойственность имеет место тогда и только тогда, когда пространство ${\mathcal O} (D)\cap H^1 (D)$ соболевских голоморфных функций в $D$ плотно в ${\mathcal O} (D)$. Идея ее построения навеяна работой Л. А. Айзенберга [1], в которой уточнялась двойственность Ж. Серра.
Заметим, что оригинальная двойственность Г-К-С для голоморфных функций одной переменной не нуждается ни в каких ограничениях на гладкость кривой $\partial D$. Наконец, уместно отметить, что, по-видимому, эти результаты могут быть обобщены для широкого класса переопределенных эллиптических операторов, обладающих левыми регулярными фундаментальными решениями и порождающих нетривиальные касательные условия на гиперповерхностях.
Доклад основан на совместной работе с Ю. А. Хорьяковой (Сибирский федеральный университет, г. Красноярск). Работа поддержана Красноярским математическим центром,
финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение № 075-02-2023-936).
Список литературы
L. Aizenberg, “Duality in complex analysis”, Israel Math. Conf. Proc, 11, 1997, 27–35
A. Grothendieck, “Sur certains espaces de fonctions holomorphes. I”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1953:192 (1953), 35–64
