Аннотация:
Пусть $B_n$ обозначает открытый единичный шар
из $\mathbb{C}^n$, $n\ge 1$. Для каждой непостоянной голоморфной функции $\varphi: B_n \to B_1$
и числа $\alpha\in\partial B_1$ канонически определяется мера $\sigma_\alpha[\varphi]$, заданная на единичной сфере $\partial B_n$. В классическом случае $n=1$ данные объекты ввёл Д. Н. Кларк в [1]. За прошедшие 50 лет доказаны разнообразные утверждения о таких мерах на
окружности. В докладе представлен ряд подобных результатов для $n\ge 2$. В частности,
получена теорема о дезинтеграции, построены естественные унитарные операторы, ассоциированные с мерами Кларка. В качестве приложения получена теорема о сравнении исследуемых мер, доказано существование доминантных множеств для больших модельных пространств. Показано, что теорема Полторацкого о существовании граничных значений имеет место для функций из малого модельного пространства.
Наконец, получена формула, связывающая существенную норму оператора композиции и сингулярные части ассоциированных мер Кларка. Отдельно обсуждаются различия между соответствующими теориями в шаре и в
полидиске.
Доклад основан на совместных работах с А.Б. Александровым.
Исследования выполнены за счет гранта
Российского научного фонда № 19-11-00058, https://rscf.ru/project/19-11-00058/
Список литературы
Douglas N. Clark, “One dimensional perturbations of restricted shifts”, Journal d’Analyse Mathématique, 25 (1972), 169–191
