Полиномиальная аппроксимация аналитических функций на параболических многообразиях

В теории классификации римановых поверхностей класс поверхностей, для которых не существует отличной от константы ограниченной сверху субгармонической функции называются параболическими римановыми поверхностями. В общем случае, для комплексных многообразий произвольной размерности, имеются различные определения параболичности. «Параболичность», где требуется существование специальной плюрисубгармонической функции исчерпания рассмотрена в работах П. Гриффитса и Ж. Кинга [3], В. Штоля [4], где свойства параболических многообразий были применены в многомерной теории Неванлинны. Работа П. Гриффитса и Ж. Кинга была сосредоточена на аффинно-алгебраических подмногообразиях комплексного пространства. Валироновы дефектные дивизоры голоморфных отображений параболических многообразий были рассмотрены в работе второго автора [5]. Здесь мы используем определения параболичности из совместных работ второго автора с А. Айтуной [1,2].
Штейновое многообразия $X$ называется $S$-параболическим многообразием, если на нём существует специальная плюрисубгармоническая функция исчерпания $\rho(z)\in\operatorname{psh}(X)$ со свойствами максимальности вне некоторого компакта.
На $S$-параболических многообразиях определяются полиномы с условиями ограничения на рост функции при помощи специальной функции исчерпания: если для голоморфной функции $f$ на $X$ существуют положительные числа $c,d$ такие, что при всех $z\in X$ выполняется неравенство
$$ \ln |f(z)| \leq d\cdot \rho^{+}(z)+c, $$
где $\rho^{+}(z) = \max\{0,\rho(z)\}$, то функция $f$ называется $\rho$-полиномом степени $\leq d$.
В работе приводится несколько специальных примеров $S$-параболических многообразий с обозрением пространства полиномов на этих многообразиях. Рассматриваются полиномиальные аппроксимации аналитических функций на регулярно параболических многообразиях, где имеется богатый набор полиномов; доказывается аналог известной теоремы Бернштейна-Уолша.
Это совместное исследование с А. С. Садуллаевым (Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, г. Ташкент, Республика Узбекистан). Работа выполнена при поддержке Агентства инновационного развития при Министерстве высшего образования, науки и инноваций Республики Узбекистан, (грант № UТ-ОТ-2020-1).

Список литературы

1. A. Aytuna, A. Sadullaev, “Parabolic Stein Manifolds”, Mathematica Scandinavica, 114:1 (2014), 86–109
2. A. Aytuna, A. Sadullaev, “Polynomials on Parabolic Manifolds”, Contemporary Mathematics, 662 (2016), 1–22
3. P. Griffits, J. King, “Nevanlinna theory and holomorphic mappings between algebraic varieties”, Acta Mathematica, 130 (1973), 145–220
4. W. Stoll, Value distribution on parabolic spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin, Heidelberg, 1977, 216 pp.
5. А. С. Садуллаев, “Дефектные дивизоры в смысле Валирона”, Матем. сб., 108(150):4 (1979), 567–580      ; A. S. Sadullaev, “Deficient divisors in the Valiron sense”, Math. USSR-Sb., 36:4 (1980), 535–547