RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА

Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2023
24 июля 2023 г. 15:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»


Исчислительная геометрия на проективной плоскости. Семинар 1

А. Г. Кузнецов


https://youtu.be/a5JrBdyhuUc?si=Z0ksSMoyv7Miw5B4

Аннотация: Задача Аполлония о числе окружностей, касающихся трёх данных, датируется III веком до нашей эры, а сейчас является школьной, и имеет естественный максимальный ответ — 8. Собственно, если подходить к вопросу чисто алгебраически — решений всегда 8, просто иногда (скажем, если одна из окружностей лежит строго внутри другой) часть решений оказывается комплексной, а не вещественной.

Естественным алгебро-геометрическим аналогом задачи Аполлония является задача о количестве кривых степени 2 на комплексной проективной плоскости, касающихся пяти данных кривых степени 2 (количество кривых выросло с 3 до 5, так как общая кривая степени 2 зависит от 5 параметров). Эта задача, однако оказывается неожиданно нетривиальной. Наивное вычисление, основанное на теореме Безу, дает ответ 7776, но он неправильный!

О причинах данного явления, а также о том, как с ним бороться и получить правильный ответ, будет рассказано в этом курсе. В процессе мы обсудим такие важные базовые понятия алгебраической геометрии, как проективное пространство, проективное многообразие, многообразие Веронезе, раздутие подмногообразия, когомологическая теория пересечений и многое другое.

Пререквизиты. Комплексные числа, основы линейной алгебры, желательно знакомство с когомологиями топологических пространств.

Website: https://mccme.ru/dubna/2023/courses/kuznetsov.html
Цикл лекций


© МИАН, 2024