Аннотация:
Описание nef-конуса (или двойственного ему конуса Мори) является очень важной задачей в алгебраической геометрии для применения в программе минимальных моделей. В то же время, описание кэлерова конуса является важной задачей в комплексной геометрии, что является трансцендентным аналогом nef-конуса.
Для $\mathrm{K3}$ поверхности $S$ известно, что nef (или кэлеров) конус высекается ортогональными гиперповерхностями к $(-2)$-кривым в положительном конусе $\mathrm{Pos}(S)\subset H^{1,1}(S)\otimes \mathbb{R}.$ Для неприводимых голоморфных симплектических многообразий, которые являются обобщением $\mathrm{K3}$ поверхностей в большей размерности, ситуация существенно сложнее. Однако, для известных типов неприводимых голоморфных симплектических многообразий описание также можно предъявить. Например, в работах А. Байера и Э. Макри [3] и К. Ёшиока [4], используя сложную технику стабильности по Бриджленду, было дано описание nef-конуса для неприводимых голоморфных симплектических многообразий типа $\mathrm{K3}$ и типа Куммера.
Напомним, что для неприводимых голоморфных симплектических многообразий имеется естественная невырожденная квадратичная форма на вторых когомологиях, форма Бовилля-Богомолова, которая зависит только от топологических свойств многообразия. В частности, это дает некоторое обобщение естественной формы пересечения дивизоров для поверхностей. В серии работ Е. Ю. Америк и М. С. Вербицкого (см. список литературы в [2]) было показано, что для неприводимого голоморфного симплектического многообразия $X$ гиперповерхности в положительном конусе, которыми ограничивается nef (или кэлеров) конус, являются множеством ортогональных относительно формы Бовилля-Богомолова дивизоров к рациональным кривым с ограниченным квадратом формы Бовилля-Богомолова. Более того в работе тех же авторов [1] для неприводимых голоморфных симплектических многообразий типа $\mathrm{K3}$ в малых размерностях было явно представлено описание таких рациональных кривых.
В докладе мы попробуем дать простое и явное описание таких рациональных кривых, которые дают описание nef-конуса или кэлерова конуса для неприводимых голоморфных симплектических многообразий типа $\mathrm{K3}$ и типа Куммера произвольной размерности.
Список литературы
E. Amerik, M. Verbitsky, “MBM classes and contraction loci on low-dimensional hyperkähler manifolds of $K3^{[n]}$ type”, Algebraic Geometry, 9:3 (2022), 252–265
E. Amerik, M. Verbitsky, “Rational Curves and MBM Classes on Hyperkähler Manifolds: A Survey”, Rationality of varieties, Progress in Mathematics, 342, Birkhäuser, {C}ham., 2021, 75–96
A. Bayer, E. Macrì},, “MMP for moduli of sheaves on K3s via wall-crossing: nef and movable cones, Lagrangian fibrations”, Inventiones mathematicae, 198:3 (2014), 505–590
K. Yoshioka, “Bridgeland's stability and the positive cone of the moduli spaces of stable objects on an abelian surface”, Development of Moduli Theory, Advanced Studies in Pure Mathematics, 69, Mathematical Society of Japan, 2016, 473–537
