Аннотация:
Рассмотрим одномерный оператор Дирака на полуоси $D_Q = \left(\begin{smallmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{smallmatrix}\right)\frac{d}{dr} + Q$, где потенциал $Q$ имеет вид $Q = \left(\begin{smallmatrix} -q & p\\ p &q \end{smallmatrix}\right)$ для некоторых вещественнозначных функций $p$ и $q$. Если $p$ и $q$ удовлетворяют условию $p,q\in L^1(\mathbb R_+, (1 + x^2)^{-1})$, то для оператора $D_Q$ можно определить аналитические в $\mathbb{C}_{+} =\{\operatorname{Im} z > 0\}$ функцию Вейля $m_Q$, и функцию Сегё $\Pi_Q$. Хорошо известно, что если потенциал $Q$ оператора имеет компактный носитель, то функции Вейля и Сегё этого оператора могут быть продолжены до мероморфных функций во всей комплексной плоскости. Если же потенциал убывает экспоненциально быстро, то есть $Q(r) = O(e^{-\delta r})$ при $r\to\infty$, то $m_Q$ и $\Pi_Q$ продолжаются до мероморфных в горизонтальной полуплоскости $\{\operatorname{Im} z > -\delta\}$. Аналогичные результаты можно получить для операторов с экспоненциально быстро осциллирующими потенциалами, то есть удовлетворяющих $\int_r^{\infty} Q(x)\, dx = O(e^{-\delta r})$ при $r\to\infty$.
В терминах энтропии оператора Дирака, введенной Р. Бессоновым и С. Денисовым, мы опишем еще более широкий класс потенциалов, для которых $m_Q$ и $\Pi_Q$ допускают мероморфное продолжение в некоторую горизонтальную полуплоскость ниже вещественной оси. При некоторых дополнительных условиях будут установлены двусторонние оценки на максимальное $\delta$, для которого $\Pi_Q$ мероморфно в $\{\operatorname{Im}z > -\delta\}$, через показатель экспоненциального убывания энтропии.
В случае, когда $Q$ имеет компактный носитель можно рассмотреть полюса $m_Q$, они совпадают полюсами функции $\Pi_Q$ и называются резонансами оператора $D_Q$. Наши результаты о мероморфном продолжении позволяют определить резонансы для операторов со сверхэкспоненциально убывающей энтропией. В докладе мы докажем, что множество резонансов задает потенциал единственным образом при некоторых дополнительных ограничениях на потенциал.
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075–15–2022–287.
