Аннотация:
Хорошо известно, что коротковолновые асимптотические решения линейных строго гиперболических по Петровскому систем, коэффициенты которых не зависят от малого параметра (или зависят от него регулярно), описываются в терминах канонического оператора Маслова на наборе лагранжевых поверхностей. Эти поверхности инвариантны относительно гамильтоновых полей, гамильтонианы которых удовлетворяют характеристическому уравнению для старшего символа гиперболической системы.
Если коэффициенты зависят от малого параметра сингулярно (т.е. их слабые пределы не гладкие), решение имеет более сложный вид вблизи носителя сингулярности этого слабого предела; в общем случае соответствующая теория не разработана. В докладе описывается асимптотика решения задачи Коши в случае, когда коэффициенты меняются скачкообразно, т.е. их слабые пределы терпят разрыв на некоторой гиперповерхности в пространстве независимых переменных. В этой ситуации лагранжевы поверхности перестраиваются в точках, соответствующих указанной поверхности, причем перестройка управляется геометрией проективной гиперповерхности в двойственном пространстве, определяемой старшим символом системы. Доказано, что решение разлагается в асимптотический ряд, слагаемые которого выражаются через канонический оператор Маслова на перестраивающихся лагранжевых поверхностях; функции, к которым применяются эти операторы, удовлетворяют вспомогательной задаче рассеяния для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а коэффициенты оператора монодромии такой задачи определяют коэффициенты отражения и прохождения волн через поверхность скачка коэффициентов.
|
