Гомотопии и симметрии

В современной математике, обьекты часто изучаются “с точностью до изоморфизма”, причем следить за изоморфизмами важно — например, в теории Галуа именно группа автоморфизмов алгебраического расширения нашего поля содержит самую важную информацию. Топологический аналог теории Галуа — теория накрытий, где роль группы Галуа играет группа гомотопических классов петель, т.е. фундаментальная группа. Однако хорошо известно, что, как правило, топология пространства не определяется только лишь фундаментальной группой — бывают и нетривиальные высшие группы гомотопий. При попытке формализовать явление алгебраически, первое, что хочется сделать — это рассматривать не гомотопические классы петель, а сами петли; конечно, группу они уже не образуют, поскольку обратимы не буквально, а только “с точностью до высших гомотопий”, но есть надежда, что, если навести соответствующий формализм, то все эти “высшие гомотопии” можно также явно алгебраически описать, и проблема рассосется сама собой.
К сожалению, надежда пока что тщетна. Во всех имеющихся в литературе построениях такой “гомотопической алгебры”, от модельных категорий Квиллена до популярных в последнее время “бесконечность-категорий”, никакого настоящего решения проблемы не предлагается — по сути, она просто заметается под ковер. Из-за этого формализм становится страшно громоздким, и любое его честное использование требует ссылок на основополагающие труды длиной в тысячи страниц. Я опишу альтернативный подход к гомотопической алгебре, основанный на введенном Гротендиком понятии “дериватора”; этот подход ничем не уступает по силе существующим, но при этом прост, интуитивно понятен, и очень близок к исходному формализму накрытий и фундаментальных групп.
Доклад рассчитан на общематематическую аудиторию. В частности, вообще никакого знакомства с гомотопической алгеброй не предполагается, а все необходимые понятия из теории категорий я объясню по ходу дела.