О резольвенте оператора Шредингера на графе с малыми ребрами

Настоящая работа относится к серии исследований поведения резольвент эллиптических операторов на графах с малыми рёбрами. Ранее для общих операторов второго порядка на общих графах с малыми ребрами было показано, что при выполнении определённого нерезонансного условия резольвенты данных операторов голоморфны в определённом смысле по малому параметру, описывающему длины малых рёбер. Вместе с тем, остаётся открытым вопросом о поведение резольвент эллиптических операторов на графах с малыми рёбрами при нарушении данного нерезонансного условия.
В представленной работе рассматривается модельный пример графа и оператора на нём, для которого данное нерезонансное условие нарушено. Таким примером является оператор Шрёдингера на графе с несколькими малыми петлями, присоединёнными к одной вершине, в которой задаётся стандартное условие Кирхгофа. Показано, что хотя нерезонансное условие нарушается, резольвента сохраняет свойство голоморфности. В то же время, в главных членах ряда Тейлора возникают качественно новые слагаемые, описывающие определённую локализацию резольвенты на данных малых петлях.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-11-00009), https://rscf.ru/project/23-11-00009/