Аннотация:
Задачи о распределении квадратичных вычетов по простому модулю изучались многими классиками математики, такими как Гаусс и Дирихле. На первый взгляд кажется, что квадратичные вычеты ведут себя случайным образом, то есть что символ Лежандра имеет сходство со случайным блужданием на прямой. Оказывается, однако, что эта эвристика не вполне верна: например, из аналитической формулы для числа классов мнимо-квадратичного поля следует, что среди первой половины остатков по простому модулю квадратичных вычетов всегда не меньше, чем невычетов. Можно задаться вопросом о том, с какой вероятностью выполнена некоторая крайняя форма такого положительного смещения, а именно, какова доля простых чисел, для которых частичные суммы символов Лежандра по начальным отрезкам положительного луча всегда неотрицательны. Данный вопрос связан с отсутствием нетривиальных вещественных нулей многочленов Фекете и, тем самым, с нулями Зигеля $L$-функций Дирихле. В 1990 году Х. Монтгомери и Р. Вон установили, что пропорция таких простых чисел стремится к нулю, однако их подход не позволяет получить количественную оценку на скорость сходимости. В недавней работе А.Б. Калмынина, опубликованной в этом году в журнале Mathematika, такая количественная оценка была, наконец, получена. Результат Калмынина сводит задачу об оценке числа простых чисел с указанным выше свойством к нахождению вероятности неотрицательности первых нескольких сумм случайной мультипликативной функции, принимающей значения $\pm1$. Изучение таких случайных величин было начато в 1940-х годах А. Винтнером, и затем продолжено многими другими математиками, включая Г. Халаса, Ю.-К. Лау, Ж. Тененбаума и А. Харпера. Случайные мультипликативные функции много использовались в связи с гипотезами о поведении дзета-функции Римана и функции Мёбиуса, поскольку, например, для многих вариантов случайных мультипликативных функций аналог гипотезы Римана выполнен с вероятностью $1$. Нахождение вероятности неотрицательности частичных сумм сходно с задачей об оценке вероятности положительности случайного блуждания (последняя связана, например, с числами Каталана). Существенную трудность представляет тот факт, что большинство стандартных методов работы со случайными величинами перестают быть полезными в случае мультипликативных функций, в частности, для них нет аналога центральной предельной теоремы. А.Б. Калмынину удалось обойти эти проблемы при помощи рассмотрения случайной дзета-функции и применения современных результатов А. Харпера о больших значениях таких функций вблизи критической прямой. Данная тематика уже получила некоторое развитие в работах М. Шу и Р. Анджело: они доказали, существенное смещение в сторону положительности для сумм мультипликативных функций с весами.
