Полное разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических

Рассматривается (псевдо)риманово многообразие произвольной размерности с метрикой произвольной сигнатуры. В 1891 году Штеккель поставил следующую задачу: описать все метрики, допускающие полное разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических. Эта проблема привлекла большое внимание математиков и физиков и стала классической. В 1908-12 годах она была решена для метрик произвольной сигнатуры F. A. Dall’ Acqua и P. Burgatti при условии, что все диагональные компоненты обратной метрики отличны от нуля. В частности, для римановых положительно определенных метрик. Однако вопрос остался открытым для метрик, имеющих нули на диагонали. Это возможно только для индефинитных метрик. Такие метрики важны в моделях гравитации, где метрика имеет лоренцеву сигнатуру и на диагонали возможно появление нулей. В статье [1] предлагается полное решение проблемы Штеккеля, включая метрики, имеющие нули на диагонали. Сепарабельные метрики разделены на классы эквивалентности, где метрики связаны между собой каноническими преобразованиями и невырожденными преобразованиями параметров, входящих в полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби. В каждом классе эквивалентности явно описана каноническая (наиболее простая) метрика, найдены полный интеграл и все законы сохранения для геодезических линий, находящиеся в инволюции. Каждый класс характеризуются количеством векторных полей Киллинга, числом квадратичных по импульсам неразложимым законов сохранения и количеством коизотропных координат. Доказанные теоремы конструктивны. В качестве примеров перечислены все метрики, допускающие полное разделение переменных на многообразиях двух (3 класса), трех (6 классов) [2] и четырех (10 классов) измерений [3].

Список литературы

1. M. O. Katanaev, “Complete separation of variables in the geodesic Hamilton-Jacobi equation”, 61 pp., arXiv: 2305.02222
2. М. О. Катанаев, “Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических в двух и трех измерениях”, Теоретическая и математическая физика, 2024 (в печати)  
3. M. O. Katanaev, “Complete separation of variables in the geodesic Hamilton-Jacobi equation in four dimensions”, Physica Scripta, 98 (2023), 104001