Лог-канонические координаты для симплектических группоидов и кластерных алгебр

В работе получены координаты Дарбу для пуассоновых листов старшей размерности для элементов группоида унипотентных верхне-треугольных матриц. Основной элемент конструкции – это специальная планарная сеть, построенная на базе треугольной сети типа Фока–Гончарова, исходно возникающей при описании пространств Тейхмюллера для алгебр $SL_n$.
Задача построения координат Дарбу для пуассоновых листов данного группоида имеет длинную историю. Элементы данной матрицы удовлетворяют уравнению отражения, задаваемому тригонометрической R-матрицей, и могут быть отождествлены в геометрическом подходе с специальным набором геодезических функций на римановой поверхности рода $[n/2]$ с олной или двумя дырками (в зависимости от четности $n$). Эти алгебры известны как алгебры Гаврилика–Климыка–Нельсон–Редже–Угальи–Дубровина–Бондала, и исследование этих алгебр и их представлений представляет существенный интерес с точки зрения квантования маломерных теорий гравитации.
Результаты работы полностью согласуются с ранее полученными пуассоновыми и квантовыми реализациями элементов группоида для $n=3$ и $n=4$ в терминах геодезических функций, полученными с помощью ленточных графов.
Преобразования группы кос (совпадающей в геометрическом случае с модулярной группой, порожденной твистами Дена) реализованы в терминах кластерных преобразований специального колчана. Помимо этого, в работе доказано соотношение группоида путей для нормированных квантовых матриц переноса и, как следствие, построена скобка Голдмана в квазиклассическом пределе. Также в работе доказаны квантовые алгебраические соотношения для элементов матрицы переноса в произвольной (с циклами или без циклов) направленной планарной сети.