Аннотация:
В математике есть много перечислительных задач, то есть задач подсчета каких-либо комбинаторных объектов, зависящих от параметра $n$, например: деревьев с $n$ вершинами, разбиений числа $n$, групп порядка $n$ и т.п. Часть из них совершенно безнадежны, часть решаются (легко или трудно) комбинаторными методами. А некоторые (и это, пожалуй, самый интересный случай) удается решить только принципиально не комбинаторным способом, опираясь на глубокие идеи из других областей математики. Я расскажу об одной из таких задач, решенной совсем недавно (в 2017 году) Филипом Энгелем и Питером Смилли. Это задача подсчета триангуляций двумерной сферы с $2n$ гранями, удовлетворяющих следующему условию выпуклости (или условию неотрицательной кривизны): в каждой вершине сходится не больше шести ребер триангуляции. Ответ оказывается удивительным: взвешенное число таких триангуляций с $2n$ гранями (с некоторыми очень естественными весами) равно
$$\frac{809}{2^{15}\cdot 3^{13}\cdot 5^2}\,\sigma_9(n),$$
где $\sigma_9(n)$ — сумма девятых степеней всех делителей числа $n$. Вывод этой формулы получается в результате очень красивого взаимодействия идей теории модулярных форм, комплексной гиперболической геометрии (комплексного аналога геометрии Лобачевского), геометрии решеток.
Для понимания курса нужно уметь (и не бояться) дифференцировать и интегрировать, а также обращаться с комплексными числами. Желательно (но не обязательно) знакомство с началами линейной алгебры (умножение матриц, квадратичные формы).
