Топология алгебраических кривых. Семинар 1

Многочлен от двух переменных задает на плоскости кривую. Так в невырожденном случае многочлен второй степени задает эллипс, параболу или гиперболу. Если дополнить плоскость до проективной, то между этими кривыми стираются различия. В случае произвольной степени получается некоторый набор компонент на проективной плоскости. Ещё в 1876 году Харнак дал точную оценку на число компонент кривой степени $d$, а именно, их не больше, чем $(d-1)(d-2)/2 + 1$. Однако они не могут быть расположены как угодно, например, несложно проверить, что три овала при $d=4$ не могут быть последовательно вложенными. 16-ая проблема из знаменитого списка Гильберта, составленного в 1900 году, состоит в том, чтобы описать, какие взаимные расположения овалов допустимы. Гильберт высказал гипотезы по поводу кривых 6-ой степени, например, о том, что нет кривой, состоящей из 11 отделенных друг от друга овалов.

Только в 1933 году Петровскому удалось доказать эту гипотезу, и лишь в 1969 году Гудков классифицировал кривые степени 6, что послужило толчком для дальнейших исследований. Доказательство последовавшего сравнения Гудкова было частично получено Арнольдом в 1971 году и уже полностью Рохлиным в 1972 году. После чего в 1979 году была открыта очень простая и красивая конструкция патчворкинга Виро, позволяющая комбинаторного строить множество примеров. В частности, с её помощью получилось полностью решить задачу для степени 7.

Замечательно во всех этих продвижениях то, что они используют глубокие и очень далекие друг от друга идеи. Эти идеи мы и обсудим на лекциях.