Сравнительный обзор 3-х плоских геометрий. Семинар 3

Имеется 3 различные 2-мерные геометрии: на сфере (кривизна $К > 0$), на плоскости ($К=0$) и на плоскости Лобачевского ($К < 0$). К каждой из них можно подходить многими способами:

1. «Элементарный» подход, как в школе: постулируется понятие прямой, далее изучаются треугольники, углы и т.д.

2. Дифференциально-геометрический подход: определяется метрика, которая и задает данную геометрию. Метрика позволят измерять длины и площади. При этом, например, «прямые» определяются, как геодезические линии.

3. Исходя из данных 1) или 2) можно рассмотреть группу отображений нашего 2-мерного пространства в себя, которая сохраняет эти данные — группу движений данной геометрии. А можно и наоборот: сначала задать группу движений, а потом изучать объекты, которые этой группой сохраняются, и назвать результат геометрией.

Мы опишем группы движений для каждой из геометрий. Затем займемся изучением их дискретных подгрупп. Для каждой из 3-х геометрий изучение дискретных подгрупп выводит нас на другие геометрические структуры: в случае $К > 0$ — это правильные многогранники; при $К=0$ мы получаем орнаменты; случай $К < 0$ самый богатый — из него получаются все римановы поверхности (алгебраические кривые) рода $> 1$.

Для понимания курса требуется знакомство с понятием группы, а также с началами линейной алгебры.