От Пуанкаре до Перельмана. Лекция 1

В 1900 году Пуанкаре сформулировал (неверную) теорему, дающую топологическую характеризацию трёхмерной сферы. В 1904 году он нашел замечательный контрпример к собственной теореме — так называемую сферу Пуанкаре (её можно описать как пространство додекаэдров, вписанных в заданную сферу). Правильный вариант своей теоремы Пуанкаре сформулировал в виде гипотезы, отметив, что её обсуждение «увело бы нас слишком далеко». Пуанкаре был прав — для доказательства его гипотезы понадобилось сто лет.
Столетняя история гипотезы Пуанкаре отмечена яркими событиями. В 1960-е годы удалось доказать $n$-мерный аналог этой гипотезы при $n\ge 5$, в 1980-е — при $n=4$. Трёхмерный случай не поддавался вплоть до 2002–2003, когда появились интернетные публикации Г. Перельмана.
В курсе будет изложена история гипотезы Пуанкаре — с точными определениями и формулировками, но без полных доказательств. Будут объяснены понятия, необходимые для понимания различных версий (топологическая, гладкая, кусочно-линейная) гипотезы Пуанкаре: многообразие, гомотопическая эквивалентность, фундаментальная группа. Слушатели узнают о классификации двумерных компактных многообразий («сферы с ручками и пленками Мебиуса»), об экзотических гладкостях на сферах и на $\mathbb R^4$ и о том, что одна из версий гипотезы Пуанкаре (гладкая 4-мерная) остается открытой. Мы обсудим также различные версии проблемы Шенфлиса: ограничивает ли вложенная $(n-1)$-мерная сфера в $\mathbb R^n$ вложенный $n$-мерный шар? Некоторые из этих версий остаются открытыми проблемами.
Предполагается, что слушатели имеют некоторое представление о многомерных евклидовых пространствах и не боятся слов «абелева группа» и «гомоморфизм».