Эллиптические кривые. Семинар 2

Эллиптическая кривая — это множество решений уравнения третьей степени от двух переменных, по аналогии с тем, как коники (эллипсы, гиперболы, параболы) — решения уравнения второй степени. Только рассматривать эти уравнения нужно на комплексной плоскости, а еще лучше, на комплексной проективной плоскости. Оказывается, что при переходе от уравнений второй к уравнениям третьей степени картина происходящего меняется качественно кардинальным образом. Теория эллиптических кривых — богатая и красивая наука, о которой написаны тома умных книжек. Они встречаются в самых разных областях математики. Например, они играют центральную роль в доказательстве гипотезы Ферма, в классификации простых конечных групп, и имеют важные приложения, например, к криптографии.

В наших занятиях мы познакомимся с самыми базовыми понятиями теории, имеющими отношение скорее к геометрии и топологии, чем к арифметике. А в качестве базисной цели выберем вычисление М.Мирзахани так называемого объема Вейля-Петерсона пространства модулей. Дело в том, что, в отличие от коник, которые все одинаковы с точки зрения комплексной геометрии, среди эллиптических кривых есть попарно неизоморфные, и в их классификации присутствует один комплексный параметр, называемый модулем. А всевозможные значения модуля сами образуют пространство, называемое пространством модулей, или, в данном случае, модулярной кривой. На этом пространстве имеется естественная форма объема, проинтегрировав которую можно получить полный объем. И Мирзахани как раз объяснила, как это можно сделать. За этот результат, среди прочего (конечно же, в гораздо большей общности), она была удостоена филдсовской медали. Как мы увидим, основная часть вычислений проходит в рамках аппарата геометрии Лобачевского, с которой нам тоже неизбежно придется освоиться.

Курс рассчитан скорее на студентов, чем на школьников. На уровне идей понятно будет всем, но чтобы погрузиться в детали, потребуется знание комплексных чисел, и не бояться слов голоморфные функции, их производные и интегралы, хотя бы в простейших ситуациях.