Локальный подход к теореме Делиня‒Римана‒Роха

В цикле статьей, кульминацией которого является [1], разработан подход к теореме Делиня‒Римана‒Роха при помощи локальных методов и доказан локальный аналог данной теоремы. Теорема Делиня‒Римана‒Роха устанавливает изоморфизм между некоторыми естественным образом определенными линейными расслоениями на многообразии модулей пар, состоящих из гладкой проективной кривой и линейного расслоения на ней.
Автор исследует это многообразие модулей, вводя дополнительные данные к рассматриваемым объектам: точка на кривой, локальный параметр в ней и тривиализация линейного расслоения в формальной окрестности точки. Существенное преимущество такого подхода заключается в том, что на возникающем многообразии модулей определено (почти) свободное и транзитивное действие группы, порожденной автоморфизмами формального проколотого диска и обратимыми функциями на нем. В результате теорема Делиня‒Римана‒Роха становится утверждением об изоморфизме между мультипликативными центральными расширениями данной группы, которое и является основным результатом, полученным в работах автора.
Важно отметить, что принадлежащее автору доказательство никак не использует теорему Делиня‒Римана‒Роха, а напротив, основано на локальных рассмотрениях и использует разнообразную технику работы с кольцами рядов Лорана, а также явные вычисления в когомологиях алгебр Ли. В процессе найденного доказательства становится явна видна причина, откуда в формуле из теоремы Делиня‒Римана‒Роха берутся загадочные коэффициенты 6 и 12.

Список литературы

1. D. V. Osipov, “Local analog of the Deligne–Riemann–Roch isomorphism for line bundles in relative dimension $1$”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:5 (2024), 127–173, arXiv: 2308.06049      ; D. V. Osipov, “Local analog of the Deligne–Riemann–Roch isomorphism for line bundles in relative dimension 1”, Izv. Math., 88:5 (2024), 930–976, arXiv: 2308.06049  
2. Д. В. Осипов, “Формальный коцикл Ботта–Тёрстона и часть формальной теоремы Римана–Роха”, Алгебра, арифметическая, алгебраическая и комплексная геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Алексея Николаевича Паршина, Труды МИАН, 320, МИАН, М., 2023, 243–277, arXiv: 2211.15932    ; D. V. Osipov, “Formal Bott–Thurston Cocycle and Part of a Formal Riemann–Roch Theorem”, Proc. Steklov Inst. Math., 320 (2023), 226–257, arXiv: 2211.15932          
3. Д. В. Осипов, “Детерминантное центральное расширение и $\cup$-произведения $1$-коциклов”, УМН, 78:4(472) (2023), 207–208            ; D. V. Osipov, “Determinant central extension and $\cup$-products of 1-cocycles”, Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 791–793