Детерминантные точечные процессы

Деметрий Фалерей, основатель Александрийской библиотеки, провел перепись населения в Афинах в конце IV в. до Р.Х. В математических задачах демографии рождается теория точечных процессов на прямой — последовательностей неразличимых событий, происходящих в случайные моменты времени. В 1915 г. работа Р. Фишера [1] открыла новую главу теории точечных процессов — изучение собственных чисел матриц, задаваемых случаем.
Синус-процесс Дайсона [2] — скейлинговый предел радиальных частей мер Хаара на унитарных группах растущей размерности. Корреляционные функции синус-процесса задаются детерминантами синус-ядра — ядра проектора на пространство Пэли — Винера. Точечные процессы, чьи корреляционные функции задаются детерминантами, с одной стороны, возникают в самых разных конкретных задачах — асимптотической комбинаторики, теории представлений бесконечномерных групп, теории гауссовских аналитических функций — а, с другой, допускают богатую общую теорию.
В совместной работе с Янци Цью (Тулуза, Пекин) и А. Шамовым (Харьков, Реховот) доказано, что реализация детермиантного точечного процесса почти наверное есть множество единственности для гильбертова пространства, образа нашего проектора.
Минимально ли это множество единственности? Оказывается — нет: почти наверное реализация синус-процесса имеет избыток 1 для пространства Пэли — Винера, то есть, становится полным и минимальным множеством после удаления одной частицы. Дело в том, что случайные целые функции, обобщённые произведения Эйлера, сопоставляемые синус-процессу, сходятся при скейлинге по распределению к восходящему, на физическом уровне строгости, к работам А.Н. Колмогорова и его школы по теории однородной изотропной турбулентности гауссову мультипликативному хаосу.
Доказательство сходимости к гауссову мультипликативному хаосу опирается на квази-инвариантность синус-процесса под действием диффеоморфизмов прямой с компактным носителем, а также на оценки остаточного члена в скейлинговом пределе формулы Бородина – Окунькова –Джеронимо – Кейса, обобщающей Сильную Теорему Сегё в форме И.А. Ибрагимова. Для детерминантного процесса с ядром Бесселя точные оценки недавно получил С.М. Горбунов [3].

Список литературы

1. R. A. Fisher, “Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population”, Biometrika, 10:4 (1915), 507–521
2. F. J. Dyson, “Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. I”, J. Math. Phys., 3:1 (1962), 140–156    
3. S. M. Gorbunov, “Speed of convergence in the Central Limit Theorem for the determinantal point process with the Bessel kernel”, 2024, 24 pp., arXiv: 2403.16219