Аннотация:
Известно, что поверхность с краем определяется своим оператором
“Дирихле–Нейман” с точностью до конформного диффеоморфизма, не
двигающего точки края. Множество конформных классов $[M]$
ориентируемых поверхностей $M$ рода $m$ с краем $\partial M=\Gamma$,
наделенное метрикой Тейхмюллера, образует пространство модулей
$\mathcal{T}_{g,\Gamma}$, а множество $\mathcal{D}_{g,\Gamma}$ всех
ДН-операторов таких поверхностей наделяется метрикой
$d(\Lambda,\Lambda')=\|\Lambda-\Lambda'\|_{H^{1}(\Gamma)\to
L_2(\Gamma)}$. В недавних работах докладчика и М.И.Белишева доказано,
что отображение $\mathcal{R}: \ \mathcal{D}_{g,\Gamma}\to
\mathcal{T}_{g,\Gamma}$, сопоставляющее ДН-оператору поверхности её
конформный класс, непрерывно (и даже поточечно липшицево).
В докладе описывается алгоритм вычисления матрицы $b$-периодов $B$
дубля $X$ поверхности $M$ (полученного склеиванием двух экземпляров
$M$ вдоль края) по её ДН-оператору $\Lambda$. Пространство модулей
таких дублей образует страт вещественной размерности $6m-3$ в
пространстве модулей $\mathcal{T}_{g}$ поверхностей рода $g=2m$. Ввиду
теоремы Торелли, $\mathbb{B}$ определяет конформный класс $X$; тем
самым элементы матрицы $\mathbb{B}$ дают локальные координаты на
$\mathcal{T}_{g}$. В типичном случае (т.е. за исключением стратов
меньших размерностей) матрица $\mathbb{B}$ определяет кривую разреза
дубля $X$ на две конформные копии $M$. Поэтому $\mathbb{B}$ содержит
информацию о конформной структуре на $M$, за исключением способа
отождествления точек $\partial M$ с точками кривой $\Gamma$, на
которой задан ДН-оператор. Предложенный алгоритм устойчив относительно
малых (по операторной норме) возмущений оператора $\Lambda$.
|
