Асимптотические задачи комбинаторики. Дополнительная лекция

Многие интересные задачи в комбинаторике формулируются в терминах «как выглядит случайный большой объект» или «сколько есть таких объектов данного размера». К примеру, в случайной последовательности нулей и единиц большой длины $n$ нулей и единиц примерно поровну, а в разложении случайной перестановки $n$ элементов в произведение независимых циклов, скорее всего, есть «большой» цикл (имеющий сравнимую с $n$ длину), а всего циклов порядка логарифма $n$.
Оказывается, что задачи «подсчитать количество» и «найти предельный вид» зачастую связаны друг с другом. Мы разберём такую связь, решив (лишь на физическом уровне строгости!) несколько таких задач:

• Как выглядит типичное разбиение числа n в сумму невозрастающих слагаемых? Какова асимптотика количества таких разбиений (формула Харди–Рамануджана)?
• Что такое аффинная длина, и как выглядит типичная ломаная, идущая из вершины $(0,1)$ в вершину $(1,0)$ единичного квадрата, если её вершины принадлежат решётке с шагом $1/n$?
• Как посчитать, сколькими способами на доминошки можно разрезать данную плоскую фигуру? Как выглядит типичное разбиение ацтекского бриллианта на доминошки? Откуда берётся «полярный круг», за которым все доминошки оказываются «замороженными»? И какое к этому отношение имеет угол кристалла и кубики, сложенные в углу комнаты?

Курс предназначен для студентов и школьников, знакомых с началами анализа.