|
ВИДЕОТЕКА |
Конференция «Оптимальное управление и приложения», посвященная 105-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина
|
|||
|
Дифференциальные игры как негладкие экстремальные задачи Ю. С. Ледяев |
|||
Аннотация: На протяжении нескольких десятилетий научные интересы Л. С. Понтрягина были тесно связаны с развитием теории дифференциальных игр. Одно из центральных мест в этой работе занимал вопрос о получении общих условий, которые характеризуют оптимальные управления-стратегии в дифференциальных играх и которые подобны принципу максимума Понтрягина в теории оптимального управления. В настоящем докладе обсуждается один из возможных подходов к выводу таких условий оптимальности, основанный на расмотрении дифференциальной игры как некоторой нестандартной задачи минимизации негладкого функционала на множестве квазистратегий. Показано, что в некоторой топологии “поточечной” сходимости множество таких квазистратегий компактно, а минимизируемый функционал полунепрерывен снизу. Тем самым очевидным образом устанавливается существование оптимальной квазистратегии. Мы приводим элементы негладкого анализа (анализа недифференцируемых функционалов), которые используются для вывода необходимых и достаточных условий оптимальности квазистратегии в форме интегрального и поточечного принципа максимума. Мы также описываем теорию двойственности для квазистратегий и её применение для вывода поточечного принципа максимума для оптимальной квазистратегии. В заключение мы устанавливаем связь такого поточечного принципа максимума с субградиентами функции негладкой функции цены дифференциальной игры, являющейся обобщённым решением уравнения Гамильтона–Якоби. Мы демонстрируем, как этот результат может быть использован для вывода аналитических формул для решений общих алгебраических и дифференциальных матричных уравнений Риккати. |