Теория 2-усеченных кубов и приложения к комбинаторике флаговых многогранников

В последние 30 лет в различных областях исследований, таких как алгебраическая и симплектическая геометрия, алгебраическая топология, теория особенностей, теория кластерных алгебр, важную роль играют простые выпуклые многогранники, т.е. выпуклые многогранники, у которых степень каждой вершины равна размерности многогранника. В этих областях предложены конструкции многогранников, использующие специфические подходы и результаты, выдвинуты гипотезы об их комбинаторике.
Актуальной стала задача построения общей теории таких многогранников.
В цикле работ В. М. Бухштабера и В. Д. Володина введено и исследовано семейство 2-усеченных кубов – многогранников, получающихся из стандартного $n$-мерного куба последовательностью срезок граней коразмерности 2. Показано, что этот класс многогранников обладает рядом замечательных свойств. Каждый 2-усеченный куб является флаговым простым многогранником, который реализуется как образ отображения моментов симплектического многообразия с гамильтоновым действием компактного тора половинной размерности. Доказано, что классы многогранников, возникшие в перечисленных выше областях исследований, являются 2-усеченными кубами. К таким классам относятся граф-ассоциэры, граф-кубиэдры и флаговые нестоэдры, в том числе знаменитые серии многогранников, такие как ассоциэдры (многогранники Сташефа), циклоэдры (многогранники Ботта–Таубса), и классические пермутоэдры, многогранники, отвечающие диаграммам Дынкина компактных групп Ли.
Для 2-усеченных кубов получено положительное решение известной гипотезы Гала утверждающей, что коэффициенты гамма-вектора простого флагового многогранника неотрицательны. Показано, что для 2-усеченных кубов имеет место положительное решение более сильной гипотезы Нево и Петерсена, утверждающей, что гамма-вектор простого флагового многогранника реализуется как вектор граней некоторого симплициального комплекса.
Построена теория 2-усеченных кубов. В качестве следствия установлены верхние и нижние границы перечисляющих полиномов для важных классов граф-ассоциэдров. Показано, что эти границы достигаются на многогранниках Сташефа, Ботта–Таубса и пермутоэдрах. Перечисляющие полиномы этих серий вычислены с помощью полученных дифференциальных и функциональных уравнений на их производящие функции.

Список литературы

1. В. М. Бухштабер, В. Д. Володин, “Точные верхние и нижние границы для нестоэдров”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:6 (2011), 17–46        ; V. M. Buchstaber, V. D. Volodin, “Sharp upper and lower bounds for nestohedra”, Izv. Math., 75:6 (2011), 1107–1133            
2. V. M. Buchstaber, V. D. Volodin, “Combinatorial 2-truncated cubes and applications”, Associahedra, Tamari lattices and related structures. Tamari memorial Festschrift, Progress in Mathematics, 299, Birkhä̈user, Basel, 2012, 161–186      
3. В. Д. Володин, “Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гала для них”, УМН, 65:1(391) (2010), 183–184          ; V. D. Volodin, “Cubical realizations of flag nestohedra and proof of Gal's conjecture for them”, Russian Math. Surveys, 65:1 (2010), 188–190            
4. В. Д. Володин, “Геометрическая реализация $\gamma$-векторов 2-усеченных кубов”, УМН, 67:3(405) (2012), 181–182          ; V. D. Volodin, “Geometric realization of the $\gamma$-vectors of 2-truncated cubes”, Russian Math. Surveys, 67:3 (2012), 582–584            
5. V. Buchstaber, V. Volodin, Upper and lower bound theorems for graph-associahedra, 2010, arXiv: 1005.1631
6. V. Volodin, Cubical realizations of flag nestohedra and Gal's conjecture, 2009, arXiv: 0912.5478
7. V. Volodin, Cubical realization of $\gamma$-vectors of 2-truncated cubes, 2012, arXiv: 1210.0398
8. V. Volodin, Combinatorics of flag simplicial 3-polytopes, 2013, arXiv: 1210.0398