Теорема Дольда–Тома, гомологии Суслина и введение в мотивные гомологии и когомологии Воеводского. Лекция 1

В курсе будет рассказано о замечательной теории, созданной В. Воеводским. В частности, будут даны и мотивированы определения гомологий Суслина, мотивных гомологий и когомологий Воеводского. Будет дана конструкция его категории мотивов алгебраических многообразий. Все эти построения опираются на понятия «многозначных» отображений и пучков. Оба последние понятия будут введены, пояснены и снабжены примерами.

Историческая справка
В середине 60-х А. Гротендиком была сформулирована гипотеза о наличии абелевой категории (категории, похожей на категорию модулей над кольцом), в которой каждое гладкое алгебраическое многообразие имеет свой образ, называемый мотивом данного многообразия. В середине 80-х А. Бейлинсоном было предсказано наличие некоторых комплексов пучков Зарисского абелевых групп $\mathbb Z(n)$ и сформулирована серия гипотез о них. Эти гипотезы оказали огромное воздействие на дальнейшее развитие некоторых областей математики.
А. Суслин в конце 80-х построил гомологии алгебраических многообразий (ныне называемые гомологиями Суслина), которые в начале 90-х подтолкнули В. Воеводского к построению не только комплексов $\mathbb Z(n)$, но и к построению мотивного комплекса (мотива) произвольного гладкого многообразия $X$. Комплекс $\mathbb Z(1)$ оказался частным случаем общей конструкции В. Воеводского – это, немного неточно говоря, мотив многообразия прямая без нуля.
Более того, В. Воеводский построил категорию мотивов (не абелеву, а основанную на категории комплексов), обладающую многими из предсказанных А. Гротендиком свойствами.
Используя эти идеи В. Воеводский в 1996 году доказал гипотезу Милнора и был награжден Филдсовской медалью. Целая россыпь идей и методов В. Воеводского позволили решить другие классические задачи, раннее абсолютно недоступные, формулировки которых ничего не знают о наличии мотивов и соответствующих когомологий.