Вокруг Понселе. Лекция 4

Теорема Понселе о замыкании лежит на границе между элементарной геометрией и «взрослой» математикой. В своём простейшем виде она утверждает, что пара окружностей, вписанная в некоторый треугольник и описанная около него, является вписанной и описанной для бесконечного множества треугольников. В этом виде теорема Понселе более или менее равносильна (с привлечением внешкольных соображений о конфигурационных пространствах) формуле Эйлера $d^2=R^2-2Rr$, связывающей расстояние между центрами окружностей с их радиусами.
Различные варианты и обобщения сформулированной теоремы в течение двух столетий привлекают внимание математиков, среди которых есть выдающиеся – А. Кэли, Ф. Гриффитс, Н. Хитчин. Обнаружены связи теоремы Понселе с эллиптическими и модулярными кривыми, с векторными расслоениями над проективными пространствами, с алгебраическими решениями нелинейных дифференциальных уравнений и с другими разделами математики. В курсе предполагается дать взрослое понимание теоремы Понселе и рассказать о некоторых из упомянутых связей.

Программа курса
1. Краткая история теоремы: от саратовского плена Понселе до современных изложений. Окружности в аксиоматической планиметрии; теорема Паскаля. Теорема Понселе и формула Эйлера. Первые обобщения.
2. Пары коник на комплексной проективной плоскости и эллиптические кривые, снабжённые сдвигом. Уравнения. Модулярные кривые.
3. Проективная геометрия многочленов степени 2 и 3. Линейные семейства кубических уравнений и параметризация пар Понселе (по Хитчину).
4. Приложения: алгебраические решения дифференциальных уравнений и проч.