RSK-алгоритм и симметрические многочлены. Лекция 2

В последнее время комбинаторика диаграмм Юнга и теория симметрических многочленов вызывает дополнительный интерес из-за ряда новых приложений в теории случайных матриц, теории представлений и задачах математической физики. Основная цель курса — дать комбинаторное введение в этот круг вопросов.

В качестве приложений мы ответим, в частности, на следующие вопросы:
1. Почему любая последовательность различных натуральных чисел длины $kl+1$ имеет либо возрастающую подпоследовательность длины $k+1$, либо убывающую подпоследовательность длины $l+1$?
2. Сколько существует последовательностей фиксированной длины из чисел $1,\dots,k$ таких, что длина максимальной возрастающей подпоследовательности равна фиксированному числу $m$?
3. Пусть у нас есть площадь (прямоугольник со сторонами $K$ и $L$) и $N$ кубиков. Сколькими способами мы можем построить на этой площади мавзолей? Симметричный мавзолей?

Программа курса
1. Стандартные и полустандартные таблицы Юнга. Алгоритм Робинсона–Шенстеда. Биекция между словами и парами таблиц. Длина максимальной возрастающей подпоследовательности в слове. Теорема Грина (интерпретация длин строк и столбцов в терминах возрастающих и убывающих подпоследовательностей).
2. Алгоритм Робинсона–Шенстеда–Кнута (RSK). Биекция с парами полустандартных таблиц. Эквивалентность слов по Кнуту. $∗$ Симметрия. $∗$ Дуальный RSK. $∗$ Диаграммы роста.
3. Симметрические многочлены. Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены. Многочлены Шура. Числа Костки. Тождество Коши. Теоремы о связи различных наборов многочленов.
4. Вычисление многочлена Шура в единицах и в геометрической прогрессии. Число стандартных и полустандартных таблиц, формула крюков, число плоских разбиений, формула Мак-Магона. $∗∗$ Представления симметрической группы.
$∗$ – программа «с превышением»; $∗∗$ – будет разобрано в виде ряда задач.

Для понимания курса не требуется никаких знаний, выходящих за рамки программы 9-го класса.
Основной акцент будет сделан на комбинаторные приложения, в то время как связь с представлениями симметрической группы будет разобрана в виде ряда задач для слушателей, знакомых с основами теории представлений конечных групп.