Теорема Ратнер и ее приложения II

Теория Ратнер относится к действию дискретных групп на однородных пространствах, но у нее есть применения в самых разных областях математики. Вот одна из теорем Ратнер: пусть $G$ - вещественная группа Ли, $H\subset G$ - ее подгруппа, порожденная унипотентами (экспонентами нильпотентных элементов алгебры Ли), а $\Gamma\subset G$ - дискретная подгруппа, фактор по которой имеет конечный объем (например, компактен). Тогда замыкание любой $H$-орбиты в $G/\Gamma$ есть орбита подгруппы $S\subset G$. Одно из следствий этого утверждения - гипотеза Оппенхейма (1929), доказанная в 1987 Г. Маргулисом. Эта гипотеза утверждает, что множество значений, которые принимает иррациональная квадратичная форма сигнатуры $(p,q)$, $p>q> 0$ в целых точках плотно.
Теория Ратнер (и доказательство, и немалая часть применений) основана на эргодической теории (теории групп преобразований, действующих на пространствах с мерой).
Я расскажу утверждение теоремы Ратнер и выведу из нее несколько полезных следствий, в том числе гипотезу Оппенхейма, изложу основы эргодической теории, выведу "топологическое" утверждение теоремы Ратнер из его эргодической версии, и расскажу в общих чертах, как она доказывается.
Лекции рассчитаны на студентов, знакомых с определением и базовыми свойствами групп Ли, и с теорией меры (определение меры Лебега и ее базовые свойства).