Аннотация:
В недавних работах Грина, Тао и Циглер, а также Браунинга и Маттизен методами аддитивной комбинаторики был достигнут значительный прогресс в ряде трудных задач теории чисел: доказано существование арифметических прогрессий любой длины, состоящих из простых чисел, и разрешимость некоторых систем диофантовых уравнений, в которые входят нормы из числового поля. В курсе будет рассказано, как из этих результатов вытекает локально-глобальный принцип для рациональных точек на семействах коник и некоторых более общих многообразий. Начало курса будет вполне элементарным, потребуются только начальные сведения о p-адических числах и минимальное знакомство с алгебраической геометрией. Далее речь пойдет о препятствии Брауэра-Манина и его связи с торсорами алгебраических торов (на этом этапе желательно знакомство с группой Брауэра поля и когомологиями Галуа). Будут обсуждены примеры многообразий, для которых препятствие Брауэра-Манина недостаточно для объяснения нарушений локально-глобального принципа (знание теории полей классов будет полезно, но не является обязательным).
