|
ВИДЕОТЕКА |
|
Случайные метрики на сфере. Лекция 1 В. А. Клепцын |
|||
Аннотация: Из миллиона независимых подбрасываний честной монеты, скорее всего, будет около полумиллиона орлов; это — утверждение закона больших чисел. Явление следующего порядка — центральная предельная теорема, утверждающая, что отклонение от среднего значения будет порядка корня из числа подбрасываний — порядка тысяч. Более того, поделив отклонение на корень из числа подбрасываний, мы получаем случайное отклонение; его распределение с ростом числа подбрасываний становится всё более похожим на некоторое конкретное распределение. В задаче, которой будет посвящена лекция, мы увидим аналогичный эффект в гораздо более сложной ситуации. Возьмём большое число — В частности — эта сфера снабжена «римановой» метрикой, устроенной следующим образом: расстояние между точками есть длина кратчайшего пути между ними, а длина пути определяется как сумма (естественно определённых) задаваемых им длин внутри пересекаемых им квадратиков. Как ведёт себя с ростом Оказывается, — это доказали в 2002 году Шассэн и Шеффер — диаметр сферы с такой случайной метрикой ведёт себя как корень четвёртой степени (а вовсе не квадратный!) из числа квадратиков Более того, для этой случайной метрики существует — гипотетическое! — описание в других терминах: как последовательности независимых «возмущений» обычной «круглой» метрики. И вот для этого другого описания трудным открытым вопросом является придание этому («физическому») описанию формального математического смысла — в частности, доказательство соответствующих теорем сходимости. Хотя сюжет и довольно сложный, интуитивного понимания понятия вероятности и некоторого знакомства с комбинаторикой для понимания большей части лекции должно быть достаточно. Website: https://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kleptsyn-1.htm
|