Весовые оценки для одного класса субаддитивных операторов и их приложения

Пусть $1\leq r, p, q\leq\infty$, $u$, $w$ и $v$-весовые т.е. неотрицательные измеримые на $I=(0,\infty)$ функции.
Установливаются необходимые и достаточные условия выполнения неравенства
\begin{equation} \label{327:eq1} \|uTf\|_{q}\leq C\|vf\|_{p}, \qquad f\geq 0, \end{equation}
где $\|\cdot\|_{p}$ – обычная норма $L_{p}(I)$, а оператор $T$ один из операторов
$$ T^{-}_{r,\mu}f(x)=\left(\int_{0}^{x}\left(\frac{w(s)}{(x-s)^{\mu}} \int_{s}^{x}f(t)\,dt\right)^{r}\,ds\right)^{\frac{1}{r}},\qquad x\in I $$
или
$$ T^{+}_{r,\mu}f(x)=\left(\int_{x}^{\infty}\left(\frac{w(s)}{(s-x)^{\mu}} \int_{x}^{s}f(t)\,dt\right)^{r}\,ds\right)^{\frac{1}{r}}, \qquad x\in I, \quad 0\leq\mu\leq1. $$

В случае $r=1$ операторы $ T^{-}_{r,\mu}$, $ T^{+}_{r,\mu}$ становятся линейными и, например, действие оператора $ T^{-}_{1,\mu}$ для функции $f\geq 0$ имеет вид
$$ T^{-}_{1,\mu}f(x)=\int_{0}^{x}f(t)\int_{0}^{t}\frac{w(s)}{(x-s)^{\mu}} \,ds\,dt, \qquad x\in I. $$
Откуда при $w(\cdot)\equiv 1$, $\mu=1$ имеем
$$ T^{-}_{1,1}f(x)=\int_{0}^{x}f(t)\ln\frac{x}{x-t}\,dt, \qquad x\in I, $$
для которого оценка в вида \eqref{327:eq1} при $v^{p}(t)=t^{\gamma}$, $\gamma>-1$ исследована в [1].
В случае $\mu=0$ неравенство \eqref{327:eq1} для оператора $ T^{\pm}_{r,0}$ исследовано в [2].
В случае $r=q$ одновременного выполнения неравенства \eqref{327:eq1} для операторов $ T^{-}_{r,\mu}$ и $ T^{+}_{r,\mu}$ эквивалентно выполнению неравенства
$$ \left(\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \left|\frac{g(x)-g(s)}{(x-s)^{\mu}}\right|^{q}u^{q}(x)w^{q}(s)\,dx\,ds\right)^{\frac{1}{q}}\leq C\left(\int_{0}^{\infty}v^{p}(t)|g'(t)|^{p}\,dt\right)^{\frac{1}{p}}, $$
для локально абсолютно непрерывных на $I$ функций $g$.
Это неравенство в частном случае исследовано в [3, теорема 5.3], а в общем случае, как открытая задача поставлена в [4, с. 83].

Список литературы

1. А. М. Абылаева, М. Ж. Омирбек, “Весовая оценка для интегрального оператора с логарифмической особенностью”, Известия НАН РК, Серия физико-математическая, 2005, № 1, 38–47  
2. R. Oinarov, A. Kalybay, “Three-parameter weighted Hardy type inequalities”, Banach J. Math. Anal., 2:2 (2008), 85–93      
3. A.Kufner, L.-E. Persson, Weighted Inequalities of Hardy Type, World Scientific, New Jersey, 2003    
4. A. Kufner, L. Maligranda. L.-E. Persson, The Hardy Inequality. About its History and Some Related Results, Vydavatelsky Servis Publishing House, Pilsen, 2007