Минимальное идеальное пространство, содержащее конус неотрицательных измеримых функций

1. Пусть $(A, \mu)$ – пространство с неотрицательной $\sigma$ – конечной мерой $\mu$, $M$ – множество $\mu$-измеримых функций, $M_{+}=\left\{f \in M: f\geq 0\right\}$. Пусть $\rho$ – идеальная квазинорма (кратко: ИКН), $Y=Y(A, \mu)$- порожденное ею идеальное пространство (ИП, см. [1]); $A_0\colon M\to M_+$- оператор со следующими свойствами:
$$A_0(|f|)=A_0f;\quad A_0(\alpha f)=\alpha A_0f, \quad f \in M, \alpha\geq 0;$$

$$(A1).\quad \exists c_1 \in {\mathbb {R}}_+: \rho(f)\leq c_1\rho(A_0f), f \in M.$$

$$(A2).\quad \exists c_2 \in {\mathbb {R}}_+: \quad\rho(A_0(f+g))\leq c_2[\rho(A_0f)+\rho(A_0g)],$$

$$(A3).\quad |f|\leq |g| \quad \mu \text{-п.в.}\Rightarrow \rho(A_0f)\leq\rho(A_0g), \quad f, g \in M ;$$

$$(A4).\quad 0\leq f_n\uparrow f\quad \mu \text{-п.в.} \Rightarrow A_0f_n\uparrow A_0f\quad \mu \text{-п.в.}$$
Тогда, отображение $\rho_0(f):=\rho(A_0f)$, $f \in M_+$, есть ИКН, а порожденное ею ИП $X_0=X_0(A, \mu)$ с $\left\|f\right\|_{X_0}=\rho_0(|f|)$ вложено в $Y$.
2. Пусть еще $K_0\subset Y_+=\left\{g \in Y, \ g\geq 0\right\}$ -конус, снабженный функционалом $\rho_{K_0}:=\rho$, и согласованный с оператором $A_0$ условиями:
$$(A5). \quad \exists c_3 \in {\mathbb {R}}_+: h \in K \Rightarrow \rho (A_0h)\leq c_3\rho(h);\quad (A6).\quad A_0(X_0)\subset K_0.$$
Тогда $X_0=X_0(A, \mu)$ есть минимальное ИП, содержащее $K_0$, среди всех ИП $X=X(A, \mu)$, обладающих свойством: $K_0 \subset X$ и
$$\exists\,c_X \in {\mathbb {R}}_+:\quad \left\|f\right\|_X\leq c_X\left\|A_0f\right\|_X, \quad f \in M.$$

Этот результат влечет ряд конкретных конструкций минимальных ИП для различных конусов из $M_+$.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00443).

Список литературы

1. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов, Интерполяция линейных операторов, Наука, М., 1978