Квазиэллиптические операторы и псевдогиперболические уравнения

Рассматриваются классы квазиэллиптических операторов $L(D_x)$ во всем пространстве $R^n$. Эти классы операторов входят в класс квазиэллиптических операторов, введенных Л. Р. Волевичем [1] и С. М. Никольским [2], и содержат, в частности, однородные эллиптические операторы, эллиптические и параболические операторы по Петровскому, эллиптические операторы по Дуглису – Ниренбергу и др. Для рассматриваемых операторов при условии квазиоднородности символов мы устанавливаем теоремы об изоморфизме в специальных шкалах весовых соболевских пространств $W^l_{p,\sigma}(R^n)$. Из этих результатов вытекает ряд известных теорем об изоморфизме для однородных эллиптических операторов, ряд новых теорем об изоморфизме для эллиптических и параболических операторов, а также теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для класса псевдогиперболических уравнений [3]
$$ L(D_x)D^m_t u + \sum^{m-1}_{k=0}L_{m-k}(D_x)D^k_t u = f(t,x). $$
Работа продолжает исследования [4]–[7].

Список литературы

1. Л. Р. Волевич, “Локальные свойства решений квазиэллиптических систем”, Матем. сб., 59:3 (1962), 3–52      
2. С. М. Никольский, “Первая краевая задача для одного общего линейного уравнения”, ДАН, 146:4 (1962), 767–769  
3. Г. В. Демиденко, С. В. Успенский, Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной, Научная книга, Новосибирск, 1998
4. G. V. Demidenko, “On solvability of the Cauchy problem for pseudohyperbolic equations”, Sib. Adv. Math., 11:4 (2001), 25–40    
5. Г. В. Демиденко, “Квазиэллиптические операторы и уравнения соболевского типа. I”, Сиб. матем. журн., 49:5 (2008), 1064–1076      
6. Г. В. Демиденко, “Квазиэллиптические операторы и уравнения соболевского типа. II”, Сиб. матем. журн., 50:5 (2009), 1060–1069      
7. Г. В. Демиденко, “Матричные квазиэллиптические операторы в $R^n$”, ДАН, 431:4 (2010), 443–446