Циклы случайных перестановок и процессы Пуассона. Занятие 1

Для большого числа $N$ зададимся вопросами:

• Какова доля натуральных чисел $n=1,2,\dots,N$, имеющих простой делитель, больший чем $\sqrt n$?
• Рассмотрим все перестановки из $N$ элементов. Сколько из них имеют цикл длины больше, чем $N/2$?

Более глобально, нас будет интересовать:

• Как выглядит (типичное) разложение на простые множители случайного (от $1$ до $N$) натурального числа?
• Как выглядят (типичные) длины циклов случайной перестановки из $N$ элементов?

В таком виде даже не совсем понятно, как может выглядеть ответ – ведь простых делителей и циклов может быть много (скажем, порядка $N$), а может быть мало (порядка константы).
Основная цель курса – сформулировать и обосновать ответ на эти вопросы.
Для этого нам потребуется познакомиться с понятием пуассоновского процесса. В жизни мы сталкиваемся с пуассоновскими процессами очень часто, например:

• когда ждем автобуса, который ходит не по расписанию,
• когда смотрим на звездное небо (особенно если из случайной точки вселенной),
• когда к нам приходят сообщения в социальных сетях (при условии, что у нас много друзей и они нам часто пишут без особого повода),
• когда изучаем радиоактивный распад,
• когда смотрим на капли на асфальте после дождя.

Мы изучим некоторые базовые свойства пуассоновских процессов, что будет и любопытно само по себе, и поможет ответить на упомянутые выше вопросы про разложения на простые множители и перестановки.