Универсальные компакты. Занятие 1

Любая функция, непрерывная на отрезке $I$, ограничена на нем и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. На какое подмножество $К$ числовой прямой можно заменить $I$ так, чтобы приведенное утверждение (теорема Вейерштрасса) осталось верным? Ответ: на компакт и только на компакт. Компакты на прямой, на плоскости, в пространстве и, вообще, в метрических пространствах, образуют один из самых хороших классов пространств, используемых в математическом и в функциональном анализе, топологии, математической экономике и других приложениях классической математики.
Оказывается, среди компактов есть «самый большой» компакт, гильбертов куб. Он является (иньективно) универсальным. Эти слова означают, что гильбертов куб содержит в себе копии всех других компактов.
Есть среди компактов объект, универсальный в несколько противоположном (проективном) смысле. Любой другой компакт может быть получен из этого единственного компакта с помощью непрерывного отображения. Этот универсальный объект – канторовское множество, или, как принято говорить в описательной теории фракталов, пыль Кантора.
Если будет возможность, то планируется рассказать и о нескольких других замечательных компактах: ковер (салфетка) Серпинского, кривая Менгера и их универсальности в классе всех плоских кривых и кривых в метрических пространствах, соответственно.